1 引言
式中ρ為材料的密度，wi、wj為物質(zhì)點(diǎn)在ξ空間中的位置矢量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，vi為物質(zhì)點(diǎn)在空間中的速度矢量，Tji為定義在參考構(gòu)型下的第一類皮奧拉-克希荷夫應(yīng)力張量，fi為作用于物體中單位質(zhì)量的體力，e為物體單位質(zhì)量中的內(nèi)能。
式中，xi為設(shè)計(jì)變量，ε為殘余誤差，βo、βi、βii、βpi均為待定系數(shù)。
式中，n為所考慮截面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；vi為出口截面上第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的流速；v為出口截面上所有節(jié)點(diǎn)的平均流速。
圖1 設(shè)計(jì)變量的位置
選取6063鋁合金作為模擬材料，擠壓筒預(yù)熱溫度為450℃，坯料加熱溫度為480℃，擠壓比為31.2，模具與坯料間的對流換熱系數(shù)為3000 W/m2·℃，擠壓速度為2mm/s，模具工作帶處設(shè)為庫侖摩擦，摩擦系數(shù)為0.3，其他部位設(shè)置為粘性摩擦。將材料流經(jīng)區(qū)域分為棒料、導(dǎo)流孔、工作帶和型材四個(gè)部分進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并建立分析模型如圖2所示，其中工作帶和型材部分采用三棱柱網(wǎng)格，導(dǎo)流孔和棒料部分采用四面體網(wǎng)格。將上述4個(gè)設(shè)計(jì)變量在各自范圍內(nèi)取3個(gè)水平，采用Box-Behnken設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)方案，對所設(shè)計(jì)29組試驗(yàn)方案進(jìn)行數(shù)值模擬，并計(jì)算出相應(yīng)的型材出口流速均方差，如表2所示（由于數(shù)據(jù)較多，在此只列出部分結(jié)果）。
表4 RSM預(yù)測結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果的比較
圖5 模具出口處型材的溫度分布圖
導(dǎo)流模又稱前室模，是生產(chǎn)薄壁復(fù)雜實(shí)心型材常用的擠壓模具。采用導(dǎo)流模具生產(chǎn)型材時(shí)，坯料首先通過導(dǎo)流孔預(yù)成形，獲得與型材相似的幾何形狀，然后再進(jìn)行二次變形，擠壓出各種斷面形狀的型材。導(dǎo)流孔不僅增大了坯料與型材的幾何相似性，有效地控制了金屬流動(dòng)，減少了產(chǎn)品的扭擰和彎曲變形，而且改善了模具的受力條件，提高了模具壽命，所以其設(shè)計(jì)是否合理是導(dǎo)流模具設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。傳統(tǒng)模具設(shè)計(jì)主要依賴設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過反復(fù)試模修模，最后生產(chǎn)出合格零件，既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力。
利用數(shù)值仿真的方法不僅周期短、成本低，而且可以獲得材料的應(yīng)力、應(yīng)變、溫度、速度等現(xiàn)場難以測量的場量，對于掌握擠壓過程中材料在模具中的流動(dòng)規(guī)律進(jìn)而提高型材質(zhì)量非常重要。為此，國內(nèi)外許多學(xué)者采用數(shù)值模擬的方法對擠壓成形過程進(jìn)行了大量的研究，并取得了較大的進(jìn)展。
利用數(shù)值仿真的方法不僅周期短、成本低，而且可以獲得材料的應(yīng)力、應(yīng)變、溫度、速度等現(xiàn)場難以測量的場量，對于掌握擠壓過程中材料在模具中的流動(dòng)規(guī)律進(jìn)而提高型材質(zhì)量非常重要。為此，國內(nèi)外許多學(xué)者采用數(shù)值模擬的方法對擠壓成形過程進(jìn)行了大量的研究，并取得了較大的進(jìn)展。
目前關(guān)于擠壓過程的數(shù)值模擬研究大多采用拉格朗日法和歐拉法。采用拉格朗日法分析大變形的擠壓問題時(shí)，單元容易產(chǎn)生畸變，需要頻繁的網(wǎng)格重劃，導(dǎo)致體積損失過大，嚴(yán)重影響了計(jì)算精度；而采用歐拉法模擬時(shí)，需要利用復(fù)雜的數(shù)學(xué)映射來描述自由表面的運(yùn)動(dòng)狀況并且對材料所有可能流過的區(qū)域劃分網(wǎng)格，占用大量計(jì)算機(jī)內(nèi)存，特別是分析薄壁、空心、復(fù)雜斷面型材時(shí)計(jì)算時(shí)間令人難以接受。ALE(Arbitrary Lagrangian Eulerian, ALE) 算法吸收了拉格朗日和歐拉算法的優(yōu)點(diǎn)，通過引入一個(gè)獨(dú)立于物質(zhì)構(gòu)型和空間構(gòu)型的參考構(gòu)型，使得計(jì)算網(wǎng)格能夠任意移動(dòng)，從而避免了單元畸變以及自由界面追蹤所帶來的困難。
本文采用基于ALE算法的商業(yè)化軟件HyperXtrude對一異形鋁型材的擠壓過程進(jìn)行數(shù)值模擬，以導(dǎo)流孔形狀為影響因素，采用Box-Behnken設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)方案建立分析模型，利用最小二乘法對模擬結(jié)果進(jìn)行擬合，得到型材截面速度均方差的響應(yīng)曲面公式，并以此為優(yōu)化目標(biāo)采用粒子群算法對導(dǎo)流孔形狀進(jìn)行優(yōu)化。
本文采用基于ALE算法的商業(yè)化軟件HyperXtrude對一異形鋁型材的擠壓過程進(jìn)行數(shù)值模擬，以導(dǎo)流孔形狀為影響因素，采用Box-Behnken設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)方案建立分析模型，利用最小二乘法對模擬結(jié)果進(jìn)行擬合，得到型材截面速度均方差的響應(yīng)曲面公式，并以此為優(yōu)化目標(biāo)采用粒子群算法對導(dǎo)流孔形狀進(jìn)行優(yōu)化。
2 優(yōu)化模型的相關(guān)理論
2.1 ALE算法基本理論
ALE算法以物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的ALE模型為理論基礎(chǔ)，不同于拉格朗日或歐拉描述模型，ALE模型另外引進(jìn)了一個(gè)獨(dú)立于物質(zhì)構(gòu)型(ΩX)和空間構(gòu)型(Ωx)的參考構(gòu)型(Ωξ)。計(jì)算網(wǎng)格的劃分是在參考構(gòu)型中進(jìn)行的，獨(dú)立于物體和空間運(yùn)動(dòng)的，可以根據(jù)需要自由選擇。根據(jù)任意單元體中的質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒定律，獲得參考坐標(biāo)系下的控制方程：
質(zhì)量守恒方程：
質(zhì)量守恒方程：
動(dòng)量守恒方程：
能量守恒方程：
式中ρ為材料的密度，wi、wj為物質(zhì)點(diǎn)在ξ空間中的位置矢量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，vi為物質(zhì)點(diǎn)在空間中的速度矢量，Tji為定義在參考構(gòu)型下的第一類皮奧拉-克希荷夫應(yīng)力張量，fi為作用于物體中單位質(zhì)量的體力，e為物體單位質(zhì)量中的內(nèi)能。
在采用ALE算法求解具體問題時(shí)，需要引入正確的材料本構(gòu)關(guān)系并對模型施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，然后對整個(gè)控制方程進(jìn)行求解。
2.2 響應(yīng)曲面模型和Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)
響應(yīng)曲面法(response surface methodology, RSM)，也稱回歸設(shè)計(jì)，是采用多元二次回歸方程來擬合因素和響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，通過對回歸方程的分析來尋求最優(yōu)工藝參數(shù)，解決多變量問題的一種統(tǒng)計(jì)方法。RSM法與其他數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方法相比，不僅考慮了自變量之間的交互作用，提高了擬合精度，而且還可以運(yùn)用圖形技術(shù)將二者之間的函數(shù)關(guān)系顯示出來，使結(jié)果更加直觀。本文選擇二階響應(yīng)曲面方程，其模型可表示為：
式中，xi為設(shè)計(jì)變量，ε為殘余誤差，βo、βi、βii、βpi均為待定系數(shù)。
Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種基于三水平的二階試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，可以評價(jià)指標(biāo)和因素之間的非線性關(guān)系，是RSM常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法之一。Box-Behnken設(shè)計(jì)的每個(gè)因素只需要三個(gè)水平，與其他方法(如星點(diǎn)設(shè)計(jì)法)相比所需的試驗(yàn)次數(shù)較少，效率更高，且所有的影響因素不會同時(shí)處于高水平，所有的試驗(yàn)點(diǎn)都落在安全區(qū)域內(nèi)，因此本文選取Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法對導(dǎo)流孔的形狀進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。
2.3 PSO算法基本原理
粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization, PSO）是Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種以鳥類覓食行為為基礎(chǔ)的全局優(yōu)化算法，因其原理簡單，算法實(shí)現(xiàn)容易，運(yùn)行速度快，已被廣泛應(yīng)用于機(jī)械、化工、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。該算法模仿鳥類的群體覓食過程，將待優(yōu)化問題的解看作為搜索空間中的一個(gè)粒子（鳥），解的優(yōu)劣程度由適應(yīng)函數(shù)決定。各粒子通過不斷追蹤自身所經(jīng)過的最佳位置和整個(gè)種群所經(jīng)過的最佳位置這兩個(gè)極值來更新自己的速度和位置，最終到達(dá)全局最優(yōu)解所在的位置。
3 模擬試驗(yàn)方案的確定
為了獲得最優(yōu)的導(dǎo)流孔形狀，進(jìn)而更好地控制材料在模具中的流動(dòng)，提高型材質(zhì)量，在保持其他工藝參數(shù)不變的情況下，選取導(dǎo)流孔不同部位的寬度作為優(yōu)化變量，如圖1所示，并結(jié)合實(shí)際情況確定各個(gè)變量的范圍如表1所示。以模具出口型材截面上的金屬流速均方差(SDV)為優(yōu)化目標(biāo)，建立優(yōu)化模型如下：
式中，n為所考慮截面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；vi為出口截面上第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的流速；v為出口截面上所有節(jié)點(diǎn)的平均流速。
表1 設(shè)計(jì)變量及其取值范圍
圖1 設(shè)計(jì)變量的位置
選取6063鋁合金作為模擬材料，擠壓筒預(yù)熱溫度為450℃，坯料加熱溫度為480℃，擠壓比為31.2，模具與坯料間的對流換熱系數(shù)為3000 W/m2·℃，擠壓速度為2mm/s，模具工作帶處設(shè)為庫侖摩擦，摩擦系數(shù)為0.3，其他部位設(shè)置為粘性摩擦。將材料流經(jīng)區(qū)域分為棒料、導(dǎo)流孔、工作帶和型材四個(gè)部分進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并建立分析模型如圖2所示，其中工作帶和型材部分采用三棱柱網(wǎng)格，導(dǎo)流孔和棒料部分采用四面體網(wǎng)格。將上述4個(gè)設(shè)計(jì)變量在各自范圍內(nèi)取3個(gè)水平，采用Box-Behnken設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)方案，對所設(shè)計(jì)29組試驗(yàn)方案進(jìn)行數(shù)值模擬，并計(jì)算出相應(yīng)的型材出口流速均方差，如表2所示（由于數(shù)據(jù)較多，在此只列出部分結(jié)果）。
圖2 分析模型
表2 Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)表及計(jì)算結(jié)果
表2 Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)表及計(jì)算結(jié)果
4 響應(yīng)曲面的建立和粒子群算法尋優(yōu)
根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法擬合響應(yīng)曲面，得到型材出口速度均方差與導(dǎo)流孔形狀的響應(yīng)面函數(shù)如下：
表3為本文模型的方差分析結(jié)果，模型較小的P值表明回歸模型對響應(yīng)值的影響極為顯著；相關(guān)系數(shù)R-Squared為0.9864，表明模型擬合程度良好，誤差較小，可以用來擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。為了進(jìn)一步驗(yàn)證RSM預(yù)測結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果是否一致，本文另外設(shè)計(jì)五組試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬，并與RSM預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較，如表4所示，預(yù)測值與模擬結(jié)果之間的誤差均小于10%，說明RSM的預(yù)測結(jié)果比較準(zhǔn)確，與實(shí)際情況比較吻合。
表3 二階模型的方差分析
表4 RSM預(yù)測結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果的比較
為了獲得最佳的導(dǎo)流孔形狀參數(shù)，結(jié)合粒子群優(yōu)化算法對上述響應(yīng)面模型尋優(yōu)，設(shè)置初始種群數(shù)目為40，慣性權(quán)重取0.8，學(xué)習(xí)因子取1.45，最大迭代次數(shù)為200。進(jìn)化迭代次數(shù)與適應(yīng)度值之間的關(guān)系如圖3所示，迭代20次左右，粒子達(dá)到最佳位置，得到最優(yōu)導(dǎo)流孔形狀參數(shù)為a=15.58；b=8.45；c=6；d=15.47，此時(shí)RSM預(yù)測的型材截面速度均方差為0.35。
圖3 粒子群優(yōu)化算法進(jìn)化代數(shù)與適應(yīng)度值關(guān)系
5 優(yōu)化結(jié)果與討論
為了驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的正確性，根據(jù)優(yōu)化后的模具結(jié)構(gòu)參數(shù)建模并進(jìn)行數(shù)值模擬，得到的模具出口型材截面速度均方差為0.38，與RSM所預(yù)測的結(jié)果0.35幾乎一致。模具優(yōu)化后型材截面速度分布與初始設(shè)計(jì)方案對比如圖4所示，可以看出初始設(shè)計(jì)方案中型材擠出模具后產(chǎn)生了較大的變形，尤其在幾個(gè)角上變形尤為明顯，而優(yōu)化后型材變形明顯減小。在整體速度分布對比上，優(yōu)化后模具出口處型材截面最大速度與最小速度之差僅為1.5mm/s，而初始計(jì)方案中的最大速度與最小速度差值達(dá)到20mm/s，速度均方差為5.4。在擠壓力方面，優(yōu)化后導(dǎo)流孔對材料的分配更加合理，更有利于控制材料流動(dòng)，因此成形所需的擠壓力（5710kN）較初始方案（5980kN）降低了5%。圖5為優(yōu)化后型材截面的溫度分布圖，可以看出整個(gè)型材截面上溫度分布比較均勻，最高溫度與最低溫度的差值僅為10℃，完全符合實(shí)際生產(chǎn)的要求，也為獲得高質(zhì)量型材提供了保證。綜上所述，采用數(shù)值模擬結(jié)合響應(yīng)曲面法和粒子群算法對導(dǎo)流孔形狀進(jìn)行優(yōu)化是可行的，模具優(yōu)化后不僅改善了金屬流動(dòng)情況，減小了型材的變形，提高了型材質(zhì)量，而且還降低了擠壓力，減少了能耗，從而為企業(yè)的實(shí)際生產(chǎn)過程提供了技術(shù)支撐。
為了驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的正確性，根據(jù)優(yōu)化后的模具結(jié)構(gòu)參數(shù)建模并進(jìn)行數(shù)值模擬，得到的模具出口型材截面速度均方差為0.38，與RSM所預(yù)測的結(jié)果0.35幾乎一致。模具優(yōu)化后型材截面速度分布與初始設(shè)計(jì)方案對比如圖4所示，可以看出初始設(shè)計(jì)方案中型材擠出模具后產(chǎn)生了較大的變形，尤其在幾個(gè)角上變形尤為明顯，而優(yōu)化后型材變形明顯減小。在整體速度分布對比上，優(yōu)化后模具出口處型材截面最大速度與最小速度之差僅為1.5mm/s，而初始計(jì)方案中的最大速度與最小速度差值達(dá)到20mm/s，速度均方差為5.4。在擠壓力方面，優(yōu)化后導(dǎo)流孔對材料的分配更加合理，更有利于控制材料流動(dòng)，因此成形所需的擠壓力（5710kN）較初始方案（5980kN）降低了5%。圖5為優(yōu)化后型材截面的溫度分布圖，可以看出整個(gè)型材截面上溫度分布比較均勻，最高溫度與最低溫度的差值僅為10℃，完全符合實(shí)際生產(chǎn)的要求，也為獲得高質(zhì)量型材提供了保證。綜上所述，采用數(shù)值模擬結(jié)合響應(yīng)曲面法和粒子群算法對導(dǎo)流孔形狀進(jìn)行優(yōu)化是可行的，模具優(yōu)化后不僅改善了金屬流動(dòng)情況，減小了型材的變形，提高了型材質(zhì)量，而且還降低了擠壓力，減少了能耗，從而為企業(yè)的實(shí)際生產(chǎn)過程提供了技術(shù)支撐。
圖4 初始方案與優(yōu)化方案的速度對比圖
圖5 模具出口處型材的溫度分布圖
6 結(jié)論
(1) 采用基于ALE算法的HyperXtrude軟件對一異形鋁型材擠壓過程進(jìn)行了數(shù)值分析，得到了型材的速度、溫度分布和變形情況，分析了金屬在擠壓過程中的流動(dòng)規(guī)律。
(2) 以導(dǎo)流孔形狀為影響因素，以模具出口型材截面的速度均方差為優(yōu)化目標(biāo)，采用Box-Behnken設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)方案，結(jié)合曲面響應(yīng)法和粒子群算法對鋁型材導(dǎo)流孔形狀進(jìn)行了優(yōu)化。
(3) 與初始模具設(shè)計(jì)方案相比，模具優(yōu)化后擠出的型材速度分布更加均勻，變形明顯減小，模具出口型材截面的速度均方差為0.38，僅為初始設(shè)計(jì)方案的7%，大大提高了型材的質(zhì)量。
